Митоз и мейоз: понятие, фазы, отличия

Как объяснить ребенку деление и научить делить столбиком?

дети-школьники тренируются делить числа столбиком

Во-первых, учтите ряд вводных факторов:

• ребёнок знает таблицу умножения
• хорошо разбирается и умеет применять на практике действия вычитания и сложения
• понимает разницу между целым и его составными элементами

Дальше акценты в ваших действиях выглядят так:

• поиграйте с таблицей умножения. Положите её перед ребёнком и на примерах покажите удобство использования при делении,
• объясните расположение делимого, делителя, частного, остатка. Предложите ребёнку повторить эти категории,
• превратите процесс в игру, придумайте историю про цифры и действие деления,
• подготовьте наглядные предметы для обучения. Подойдут счётные палочки, яблоки, монеты, игрушки, очищенные сведение или апельсин. Предлагайте их распределить между разным количеством людей, например, между мамой, папой и ребенком,
• первым показывайте ребёнку действия с чётными числами, чтобы он видел результат деления, кратный двум.

Сам процесс освоения деления столбиком:

• запишите цифры, разделив их границами. Повторите с ребёнком расположение категорий деления,
• предложите ему проанализировать цифры делимого на предмет «больше-меньше» делителя. Помогайте вопросом — сколько раз одно число помещается во втором. В результате ребёнку следует выделить то число/числа, которые он будет применять для совершения первого действия,
• подскажите алгоритм определения разрядности частного. Её удобно изобразить точками, которые потом превратятся в цифры,
• помогите правильно определить и записать первое число в частное, совершите его умножение на делитель, запишите результат под делимым, выполните вычитание. Объясните, что результат вычитания всегда должен быть меньше делителя. В противном случае действие совершилось с ошибкой и его следует переделать,
• следующий шаг — анализ ситуации с добавлением второго числа от делимого и определения количества раз повторения делителя в нём,
• снова помогите с записью действия,
• продолжайте до момента, когда результат от разницы составит ноль. Это актуально только для деления чисел без остатка,
• закрепите знания у ребёнка еще несколькими примерами. Следите, чтобы он не устал, иначе дайте перерыв.

Сначала стоит доходчиво объяснить, что такое деление на простом примере. Суть математического действия — разложить число поровну. В 3-м классе дети хорошо учатся на доступных примерах: раздают кусочки торта гостям, рассаживают кукол по 2 машинам.

Когда малыш усвоит суть деления, покажите его запись на листке. Используйте уже знакомые задания с простыми числами:

• Сначала запишите задачу обычным способом: 250:2=?
• Каждому числу дайте название: 250 — делимое, 2 — делитель, результат после знака равно — частное.
• Затем сделайте сокращенную запись столбиком (уголком):

• Рассуждайте вместе так: сначала найдем неполное частное. Это будет 2, так как оно не меньше делителя, а вернее, равно ему. В этом числе помещается один делитель, значит, в частное записываем цифру 1 и умножаем ее на 2. Заносим полученный результат под делимым. Отнимаем 2-2. Получится ноль, поэтому сносим следующее число и опять подыскиваем частное. Совершаем математическое действие до тех пор, пока не получится ноль.
• После получения окончательного результат сделайте проверку с помощью умножения: 125х2=250.

Желательно научить третьеклассника рассуждать в процессе вычисления вслух, выполнять действия на черновике. Сначала проговаривайте алгоритм вместе, потом только слушайте ученика и помогайте исправить ошибки.

Итак, как объяснить ребенку деление столбиком:

• Постарайтесь сначала объяснить на маленьких цифрах. Возьмите счетные палочки, например, 8 штук
• Спросите у ребенка, сколько пар в этом ряду палочек? Правильно — 4. Значит, если разделить 8 на 2, получится 4, а при делении 8 на 4 получится 2
• Пусть ребенок сам разделит другое число, например, более сложное: 24:4
• Когда малыш освоил деление простых чисел, тогда можно переходить к делению трехзначных чисел на однозначные

Формы записи и терминология

Символы деления в математике

Деление записывается с использованием одного из «знаков деления» — «÷, , , −{\displaystyle \div ,~/,~:,~-}» между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак деления является бинарным оператором. Знак деления не имеет специального названия, как например знак сложения, который называется «плюс».

• Самый старый из используемых символов видимо — косая черта (/). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г.
• Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде двоеточия (:) Этот символ он использовал в своём труде Acta eruditorum 1684 г. До Лейбница этот знак был использован англичанином Джонсоном в 1633 году в своей книге, но как знак дроби, а не деления в узком смысле.
• Йоханн Ран ввёл знак обелюс (÷) в качестве знака деления, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г. Знак Рана часто называют «английским знаком деления».

В русскоязычных учебниках математики в основном используется знак в виде двоеточия (:). Косая черта (/) используется в компьютерной нотации. Результат записывается с использованием знака равенства «={\displaystyle =}», например:

ab=c{\displaystyle a:b=c} ;

63=2{\displaystyle 6:3=2} («шесть разделить на три равно два») ;

655=13{\displaystyle 65:5=13} («шестьдесят пять разделить на пять равно тринадцать») .

В математических выражениях часто в качестве знака деления используется дробная черта. На письме знак деления очень похож на другие письменные символы. Следует внимательнее разбирать выражение, чтобы не возникло ошибочной идентификации символа.

Свойства

Операция деления на числовых множествах N,Z,Q,R,C{\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} } имеет следующие основные свойства:

Деление антикоммутативно — от перемены мест аргументов частное изменяется:

Антикоммутативность: ab≠ba;{\displaystyle a:b\neq b:a;}

Деление антиассоциативно — при последовательном выполнении деления трёх или более чисел последовательность выполнения операций имеет значение, результат изменится:

Антиассоциативность: (ab)c≠a(bc);{\displaystyle (a:b):c\neq a:(b:c);}

Деление дистрибутивно справа, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве, так-же известно, как распределительный закон :

Дистрибутивность: (a+b)x=(ax)+(bx), x≠;{\displaystyle (a+b):x=(a:x)+(b:x),~x\neq 0;}

Относительно деления в множестве A{\displaystyle A} существует единственный нейтральный элемент справа (число 1{\displaystyle 1}), деление на единицу (или нейтральный элемент) даёт число равное исходному:

Нейтральный элемент справа: x1=x;{\displaystyle x:1=x;}

Относительно деления в множестве A{\displaystyle A} существует единственный обратный элемент, получаемый делением единицы на число, что даёт число обратное исходному:

Обратный элемент: 1x=1x=x−1, x≠;{\displaystyle 1:x={\frac {1}{x}}=x^{-1},~x\neq 0;}

Относительно деления в множестве A{\displaystyle A} существует единственный нулевой элемент слева, число 0{\displaystyle 0} делённое на любое число даёт нуль:

Нулевой элемент слева: x=,∃∈A, x≠;{\displaystyle 0:x=0,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;}

По правилам обычной арифметики деление на ноль 0{\displaystyle 0} (нулевой элемент) не определено;

Деление на ноль: x=∞,∃∈A, x≠;{\displaystyle x:0=\infty ,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;}

Деление на противоположный элемент даёт минус единицу:

x(−x)=−1,∃!−x∈A, x≠{\displaystyle x:(-x)=-1,\quad \exists !-x\in A,~x\neq 0.}.

Результат деления не всегда является определённым для множеств натуральных чисел N{\displaystyle \mathbb {N} } и целых чисел Z{\displaystyle \mathbb {Z} }, чтобы получить натуральное или целое число в результате деления, делимое должно быть кратно делителю. Невозможно в рамках этих чисел получить дробный результат. В этом случае говорится о делении с остатком. То есть деление на этих множествах есть частичная бинарная операция. .

Операция деления определённая на множествах (в полях) рациональных Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, вещественных R{\displaystyle \mathbb {R} } и комплексных чисел C{\displaystyle \mathbb {C} } даёт число (частное) принадлежащее этому-же множеству, следовательно множества Q−,R−,C−{\displaystyle \mathbb {Q_{-0}} ,\mathbb {R_{-0}} ,\mathbb {C_{-0}} } замкнуты относительно операции деления (в точке 0 имеется разрыв второго рода — следовательно кольца рациональных, вещественных и комплексных чисел разомкнуты относительно операции деления).

В математических выражениях операция деления имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними.

Проверочные работы по математике на тему “Умножение и деление многозначных чисел”(4 класс)

Самостоятельная работа по теме: «Умножение и деление на двузначное число»

4 класс, 3 четверть

вариант I

1. Решите пример на деление:

336 : 3 = 138 : 46 =

750 : 50 = 640 : 80 =

1. Решите пример на умножение:

132 * 59 = 631 * 60 =

72 * 20 = 86 * 26 =

1. Решите задачу:

На склад поступило 2 тонны 640 кг муки. Затем 13 мешков по 48 кг в каждом отдали в производство. Сколько муки осталось на складе?

1. Решите задачу:

Из точки А и точки В на встречу друг другу одновременно выехали 2 велосипедиста. Расстояние между точками равно 200 км. Они встретились через 5 часов. С какой скоростью двигался первый велосипедист, если скорость второго была равна 18 км/час?

1. Найдите значение выражений:

32 568 – (2 832 * 7 + 3 202 : 2) = (1652 * 7 – 237 : 3) – 238 =

вариант II

1. Решите пример на деление:

350 : 50 = 230 : 46 =

483 : 3 = 320 : 80 =

2. Решите пример на умножение:

47 * 30 = 312 * 61 =

245 * 30 = 48 * 27 =

3. Решите задачу:

На склад в магазин привезли 2830 кг сахара. Каждый день продавали по 68 кг. Сколько сахара осталось на складе после 23 дней?

4. Решите задачу:

Из двух населенных пунктов на встречу друг другу вышли 2 путника. Расстояние между населенными пунктами равно 84 км. Они встретились через 6 часов. С какой скоростью шел первый путник, если скорость второго была равна 8 км/час?

5. Найдите значение выражений:

18 345 – (5 358 * 2 + 3 208 : 2 ) = (6 785 * 3 – 8 120 : 4) – 2 458 =

вариант III

1. Решите пример на деление:

276 : 46 = 840 : 40 =

453 : 3 = 990 : 30 =

2. Решите пример на умножение:

186 * 35 = 23 * 80 =

43 * 50 = 134 * 70 =

3. Решите задачу:

В цех привезли 3 654 заготовки. В токарный цех каждый день направляют по 37 деталей. Сколько деталей осталось в цеху через 40 дней?

4. Решите задачу:

Из двух городов на встречу друг другу выехали 2 мотоциклиста. Расстояние между городами равно 840 км. Они встретились через 7 часов. С какой скоростью ехал первый мотоциклист, если скорость второго была равна 70 км/час?

5. Найдите значение выражений:

29 235 – (3 984 * 6 + 6 788 : 2 ) = (8 102 – 246 : 3) – 315 * 4 =

Самостоятельная работа по теме: «Умножение и деление на трёхзначное число»

4 класс, 4 четверть

вариант I

1. Выполните деление:

31 901 : 73 = 33 387 : 93 =

309 888 : 384 = 127 270 : 143 =

2. Выполните умножение:

213 * 307 = 836 * 167 =

589 * 372 = 430 * 132 =

3. Переведите:

5 часов 13 минут = … сек 1 тонн 3 центнеров 68 кг = … кг

1 км 43 метра = … дм 28 часов 42 мин = … мин

4. Решите задачу:

Отряд пионеров прошел 20 км. Это составляет четверть пути. Сколько должны пройти пионеры?

вариант II

1. Выполните деление:

25 296 : 68 = 6 279 : 13 =

111 948 : 114 = 173 990 : 274 =

2. Выполните умножение:

248 * 357 = 721 * 163 =

701 * 591 = 231 * 694 =

3. Переведите:

1 час 48 минут = … сек 4 тонн 8 центнеров 213 кг = … кг

2 км 483 метров = … дм 1 сутки 8 часов = … мин

4. Решите задачу:

Спортсмены пробежали 15 км. Это составляет треть пути. Сколько должны пробежать спортсмены?

вариант III

1. Выполните деление:

218 654 : 218 = 716 982 : 794 =

99 264 : 132 = 54 544 : 487 =

2. Выполните умножение:

478 * 306 = 404 * 715 =

213 * 372 = 397 * 702 =

3. Переведите:

3 часа 38 минут = … сек 13 тонн 7 центнеров 63 кг = … кг

16 км = … дм 4 часов 37 мин = … мин

4. Решите задачу:

Велосипедисты проехали 18 км. Это составляет пятую часть пути. Сколько должны проехать велосипедисты?

Самостоятельная работа по теме: « Итоговое повторение»

4 класс, 4 четверть

вариант I

1. Решите пример:

3 758 + 6 345 = 27 397 – 7 164 =

782 * 23 = 33 948 : 82 =

2. Найдите значения выражений:

3 000 : 60 – 250 : 50 =

( 213 173 – 19 403 ) : 2 – 31 * 73 =

3. Решите задачу:

Из пункта А одновременно в одном направлении выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста 72 км/час, а велосипедиста 25 км/час. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

вариант II

1. Решите пример:

7 165 + 18 448 = 55 103 – 731 =

694 * 36 = 18 144 : 567 =

2. Найдите значения выражений:

5 600 : 70 + 210 : 70 =

( 14 864 – 3 486 ) : 2 – 19 * 26 =

3. Решите задачу:

Из двух населенных пунктов одновременно навстречу друг другу выехали поезд и автомобиль. Скорость поезда 48 км/час, а автомобиля 72 км/час. Через какое время они встретятся, если расстояние между городами 360 км?

вариант III

1. Решите пример:

4 138 + 12 672 = 63 230 – 879 =

736 * 34 = 35 805 : 35 =

2. Найдите значения выражений:

4 200 : 60 – 490 : 70 =

( 114 378 – 21 366 ) : 2 – 31 * 72 =

3. Решите задачу:

Из одного города одновременно в разных направлениях выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость автомобиля 65 км/час, а велосипедиста 25 км/час. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Деление на ноль

По определению числовых множеств N,Z,Q,R,C{\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} } деление на число 0 не определено. Частное от деления какого-либо числа, отличного от нуля, на нуль не существует, так как в этом случае никакое число не может удовлетворять определению частного. Для определения данной ситуации полагают, что результат этой операции считается «бесконечно большим» или «равным бесконечности» (положительной или отрицательной, в зависимости от знака операндов). С геометрической точки зрения выполняется аффинное расширение числовой прямой. То есть привычная последовательность вещественных чисел «сжимается» так, чтобы можно было оперировать границами этой последовательности. В качестве границ (условных) введены две абстрактные бесконечно большие величины +∞,−∞{\displaystyle +\infty ,-\infty }. С точки зрения общей топологии выполняется двухточечная компактификация числовой прямой путем добавления двух идеализированных точек (бесконечностей с противоположным знаком). Пишут:

Топологическая картинка проективного расширения числовой прямой и точки 0/0

a=±∞{\displaystyle a:0=\pm \infty }, где a≠{\displaystyle a\neq 0.}

Если произвести проективное расширение множества вещественных чисел введением идеализированной точки ∞ {\displaystyle \infty ~},которая соединяет оба конца вещественной прямой, тогда с точки зрения общей топологии будет выполнена числовой прямой путем добавления бесконечности без знака. Дополним полученное множество чисел новым элементом ⊥={\displaystyle \perp =0/0}, в результате получится R⊥∞=R∪{∞,⊥}{\displaystyle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty }=\mathbb {R} \cup \{\infty ,\perp \}}, на данной основе строится алгебраическая структура W=⟨R⊥∞,,1,+,⋅,⟩ {\displaystyle {\mathfrak {W}}=\langle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty },0,1,+,\cdot ,/\rangle ~}называемая «» (Wheel). Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0. Внесенные изменения превращают эту алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента). Это тип алгебры, где деление всегда определено. В частности, деление на ноль имеет смысл.

Существуют и другие алгебраические системы с делением на ноль. Например, «общие луга» (common meadows). Они чуть проще, так как не расширяют пространство, вводя новые элементы. Цель достигается как в колесах, трансформацией операций сложения и умножения, а также отказом от бинарного деления.

Как научиться делить столбиком

Деление столбиком с остатком и без него нельзя начинать без подготовки. Сначала ребенок должен хорошо уметь и знать следующее:

• Разряды натуральных чисел (десятки, сотни, тысячи). Находить их в ряду многозначных цифр.
• Таблица умножения. Этот материал лучше выучить наизусть и постоянно повторять.
• Отнимать, складывать не только однозначные или двузначные, но и многозначные числа.
• Решать маленькие задачи на умножение, разность, сумму устно.

Отработайте все обозначенные умения до автоматизма. Затем приступайте к делению маленьких цифр на примере таблицы умножения в уме. Например, ребенок выучил, как умножать цифру 6:

6х2=12

6х3=18

6х4=24 и так далее.

Смело предлагайте такие примеры:

24:6=4

24:4=6

12:2=6

18:3=6

Через пару уроков школьник будет выполнять такие задания легко. Можно разнообразить занятия по устному счету играми на деление.

Игровые задания

Интересные математические игры на деление без остатка помогают детям закрепить навык, узнать законы работы с цифрами, освоить устный счет.

• Головоломки на развитие внимания. Напишите в тетради 3–5 примеров на деление с ответами.

  Все, кроме одного, должны быть решены неверно. Нужно быстро найти тот пример, который содержит правильный ответ. Затем исправить остальные примеры с помощью устного счета.

• Подбор примера по результату. Предлагайте малышу ответ без примера. Давайте задание придумать задачу. Например, ответ 8. Ребенок может придумать такую задачу: 48:6.
• «Идем в магазин». Расставьте на полу игрушки с карточками. На листах написаны примеры: 6:2, 18:3, 42:7, 100:50. Игрушки — это «товар» в фантазийном магазине, частное после решения примера на карточке — их цена. Чтобы узнать стоимость покупки, нужно решить задания, а потом оплатить полученный результат в кассу. Играть лучше в небольшой команде — 2–3 человека.
• «Молчуны». Ребенок получает карточки с цифрами от 1 до 100. Задавайте вопросы с примерами на деление, ученик должен отвечать без слов, показывая правильный ответ.
• Небольшие самостоятельные работы с подарком за старательность. Распечатайте карточки с примерами в количестве 5–10 штук. Укажите время на решение, например 5 минут. Поставьте перед ребенком песочные часы. После выполнения контрольной верно поощрите школьника походом в зоопарк, кино, покупкой книги, сладостей. Такой тренажёр хорошо стимулирует детей.

• «Ищем дерево».

  Нарисуйте небольшой сад с деревьями на картоне. Каждому растению дайте номер, пусть их будет 10. На листочке для ученика напишите 3 примера:

45:9           120:60          14:7

Школьник должен вычислять результат к каждому заданию, а потом складывать все числа между собой. Получится так:

45:9=5

120:60=2

14:7=2

5+2+2=9

Ребенок должен найти дерево под номером 9.

Для игры можно использовать цветные пуговицы и ставить их на занятые деревья. Развлечение подходит для командных соревнований.

После устной работы с делением натуральных чисел можно показать ребенку порядок записи примеров столбиком. Если педагогического опыта у вас нет и вы не знаете, как объяснить ребёнку процесс деления столбиком, то посмотрите видеоурок на эту тему, вспомните теорию сами.

Теперь можно приступать к объяснению сложного материала школьнику. Есть несколько методик домашнего обучения делению:

1. Мама-учитель

Родителям придется ненадолго стать педагогами. Оборудовать доску, купить мел или маркеры. Заранее вспомнить школьный материал по теме “деление уголком”. Объяснить пошагово теорию и закрепить ее на практике с помощью большого количества самостоятельных, карточек, контрольных работ.

Например, это:

Затем нужно обсуждать с малышом материал, закреплять навык на практике несколько недель.

3. Нанять репетитора

Деление (даже трёхзначных чисел на двузначные) не самая сложная тема в школьной программе. В начальных классах можно легко обойтись без платных уроков с педагогом.

Этот вариант оставим на крайний случай.

Деление на ноль

По определению числовых множеств N,Z,Q,R,C{\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} } деление на число 0 не определено. Частное от деления какого-либо числа, отличного от нуля, на нуль не существует, так как в этом случае никакое число не может удовлетворять определению частного. Для определения данной ситуации полагают, что результат этой операции считается «бесконечно большим» или «равным бесконечности» (положительной или отрицательной, в зависимости от знака операндов). С геометрической точки зрения выполняется аффинное расширение числовой прямой. То есть привычная последовательность вещественных чисел «сжимается» так, чтобы можно было оперировать границами этой последовательности. В качестве границ (условных) введены две абстрактные бесконечно большие величины +∞,−∞{\displaystyle +\infty ,-\infty }. С точки зрения общей топологии выполняется двухточечная компактификация числовой прямой путем добавления двух идеализированных точек (бесконечностей с противоположным знаком). Пишут:

Топологическая картинка проективного расширения числовой прямой и точки 0/0

a=±∞{\displaystyle a:0=\pm \infty }, где a≠{\displaystyle a\neq 0.}

Если произвести проективное расширение множества вещественных чисел введением идеализированной точки ∞ {\displaystyle \infty ~},которая соединяет оба конца вещественной прямой, тогда с точки зрения общей топологии будет выполнена числовой прямой путем добавления бесконечности без знака. Дополним полученное множество чисел новым элементом ⊥={\displaystyle \perp =0/0}, в результате получится R⊥∞=R∪{∞,⊥}{\displaystyle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty }=\mathbb {R} \cup \{\infty ,\perp \}}, на данной основе строится алгебраическая структура W=⟨R⊥∞,,1,+,⋅,⟩ {\displaystyle {\mathfrak {W}}=\langle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty },0,1,+,\cdot ,/\rangle ~}называемая «» (Wheel). Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0. Внесенные изменения превращают эту алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента). Это тип алгебры, где деление всегда определено. В частности, деление на ноль имеет смысл.

Существуют и другие алгебраические системы с делением на ноль. Например, «общие луга» (common meadows). Они чуть проще, так как не расширяют пространство, вводя новые элементы. Цель достигается как в колесах, трансформацией операций сложения и умножения, а также отказом от бинарного деления.

Скачать карточки

В качестве домашнего математического тренажера используйте карточки с примерами. В них включайте разные случаи: с однозначными и многозначными числами, с нулями, деление с полным результатом и остатком. Скачать карточки можно бесплатно. Раздаточный материал обязательно следует напечатать для проверочной работы.

Ошибки с делением у детей в начальной школе встречаются довольно часто. Уделите этой теме максимум внимания и времени, чтобы усвоение последующего материала проходило без запинок. Используйте карточки, видеоуроки, постоянную тренировку навыка и повторение пройденных тем и правил в игровой форме. Тогда домашние уроки не навеют на ребенку скуку и пройдут с максимальной пользой.

Понравился наш контент? Подпишитесь на канал в .

Важные нюансы

В изучении арифметических действий очень важна последовательность. Нельзя учить малыша читать, пока он не выучил все буквы алфавита — путаница и постоянные ошибки не только будут мешать, но и могут раз и навсегда отбить охоту к чтению. С математикой аналогичная ситуация:

• нужно уметь правильно разделять большое число на несколько отдельных составляющих, с которыми проще провести требуемые операции;

• сложение и вычитание должны быть отработаны до автоматизма;

• к делению приступают только после тщательного изучения таблицы умножения.

Важно обратить внимание, что в качестве делимого выступает самое большое число — это поможет не запутаться при решении задач. А на ноль делить нельзя — подобный вопрос с подвохом часто встречается в заданиях, поэтому нужно не упустить этот момент

Значение слова Деление по словарю Ушакова:

ДЕЛЕНИЕделения, ср. 1. действие по глаг. делить в 1 знач. (книжн.). Деление на части. 2. Математическое действие, посредством которого определяется, сколько раз одно количество содержится в другом (мат.). От деления делимого на делителя получается частное. 3. В классификации понятий — разложение объема родового понятия на подчиненные ему видовые (филос.). Основание деления. 4. Бесполое размножение у простейших организмов, при к-ром тело распадается на две части (биол.). Деление клетки. 5. Промежуток между двумя черточками на измерительной шкале (спец.). Нанести деления. Ртуть в градуснике поднялась на два деления. Золотое деление или деление в крайнем и среднем отношении (мат.) — пропорция между двумя частями целого, в к-рой большая часть относится к меньшей, как целое к большей (приблизительно в отношении 8 : 5).

Как делить столбиком

Допустим, нам нужно разделить  780  на  12,  записываем действие в столбик и приступаем к делению:

Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:

это число  7,  так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число  78  больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:

В нашем случае число  78  будет неполным делимым, неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.

Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра —  0,  это значит, что частное будет состоять из  2  цифр.

Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:

Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз  12  содержится в числе  78.  Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа  1, 2, 3, …,  пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число  6,  записываем его под делитель, а из  78  (по правилам вычитания столбиком) вычитаем  72  (12 · 6 = 72).  После того, как мы вычли  72  из  78,  получился остаток  6:

Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше

К получившемуся остатку —  6,  сносим следующую цифру делимого —  0.  В результате, получилось неполное делимое —  60.  Определяем, сколько раз  12  содержится в числе  60.  Получаем число  5,  записываем его в частное после цифры  6,  а из  60  вычитаем  60  (12 · 5 = 60).  В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит  780  разделилось на  12  нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное — оно записано под делителем:

780 : 12 = 65.

Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить  9027  на  9.

Определяем неполное делимое — это число  9.  Записываем в частное  1  и из  9  вычитаем  9.  В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:

Сносим следующую цифру делимого —  0.  Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль  (0 : 9 = 0)  и в промежуточных вычислениях из  0  вычитаем  0.  Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:

Сносим следующую цифру делимого —  2.  В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое  (2)  меньше, чем делитель  (9).  В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:

Определяем, сколько раз  9  содержится в числе  27.  Получаем число  3,  записываем его в частное, а из  27  вычитаем  27.  В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число  9027  разделилось на  9  нацело:

9027 : 9 = 1003.

Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить  3000  на  6.

Определяем неполное делимое — это число  30.  Записываем в частное  5  и из  30  вычитаем  30.  В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:

Сносим следующую цифру делимого —  0.  Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из  0  вычитаем  0:

Сносим следующую цифру делимого —  0.  Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из  0  вычитаем  0.  Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток —  0.  Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит  3000  разделилось на  6  нацело:

3000 : 6 = 500.

Деление многочленов

В общих чертах оно повторяет идеи деления натуральных чисел, ибо натуральное число есть не что иное, как значения многочлена, у которого коэффициенты — цифры, а вместо переменной стоит основание системы счисления:

53348=5⋅83+3⋅82+3⋅81+4⋅8=(5×3+3×2+3x+4)|x=8{\displaystyle 5334_{8}=5\cdot 8^{3}+3\cdot 8^{2}+3\cdot 8^{1}+4\cdot 8^{0}=\left.(5x^{3}+3x^{2}+3x+4)\right|_{x=8}}.

Поэтому аналогично определяются: частное, делитель, делимое и остаток (с той лишь разницей, что ограничение накладывается на степень остатка). Поэтому к делению многочленов также применимо деление столбиком.

Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя.