Примеры по математике 3 класс

Гаусс и устный счет

Карл Фридрих Гаусс

Одним из математиков с феноменальной скоростью устного счета был знаменитый Карл Фридрих Гаусс (1777-1855). Да-да, тот самый Гаусс, который придумал нормальное распределение.

По его собственным словам, он научился считать раньше, чем говорить.  Когда Гауссу было 3 года, мальчик взглянул на платежную ведомость своего отца и заявил: «Подсчеты неверны». После того как взрослые все перепроверили, выяснилось, что маленький Гаусс был прав.

В дальнейшем этот математик достиг немалых высот, а его труды до сих пор активно используются в теоретических и прикладных науках. До самой смерти большую часть вычислений Гаусс производил в уме.

Здесь мы не будем заниматься сложными расчетами, а начнем с самого простого.

Геометрия на плоскости (планиметрия)

Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника:

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы:

Свойство биссектрисы:

Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника:

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Сумма углов n-угольника:

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

В чём проявляется человечность: черты характера

Человечность, или гуманность, основывается на альтруизме. Это поведение, в основе которого лежит принцип бескорыстной помощи другим, доброта, самоотверженность. В своей высшей степени альтруизм проявляется в жертвенности: человек приносит свои личные интересы, амбиции, а иногда здоровье и жизнь в жертву ради общего блага или же ради блага каких-то конкретных людей. Противоположностью альтруизму является эгоизм – выпячивание своих личных предпочтений, действия, направленные исключительно на достижение личной выгоды, самолюбие. Точно так же гуманности противостоит жестокость – стремление причинить вред окружающим ради неких личных интересов.

Человечность также базируется на нравственности. Это комплекс правил поведения, которые направлены на реализацию альтруизма и подавление эгоизма.

Человечность неотделима и от силы воли, поскольку она предполагает конкретные действия, направленную активность. Данная активность должна способствовать установлению альтруистических принципов и бороться с чужим или собственным эгоизмом.

Важно, что при осуществлении человечности акцент делается на искреннем желании сделать окружающий мир лучше. «Добрые поступки» человек способен совершать и из иных побуждений

К примеру, антисоциальный человек может «хорошо себя вести», если понимает, что за преступление и вообще за вред окружающим он будет наказан. Такое «доброе поведение» осуществляется исключительно из страха, следовательно, в его основе лежит ненависть.

Точно так же и жертвенность. Нередко бывает, что человеком движет лишь желание покончить с собой. Во время крупных войн многие люди рвались в бой не ради того, чтобы защитить свою страну, а лишь по причине того, что им надоела тяжёлая жизнь и они желают погибнуть, выместив перед этим свою злобу на противнике или просто «повеселившись».

Жертвенность или просто услужливость бывают показными. В основе такого поведения в любом случае лежит эгоизм, а не альтруизм. Человек стремится доказать другим свою правоту, исключительную значимость, своё превосходство. В таких случаях ни о какой человечности не может идти и речи.

С другой стороны, человечность далеко не всегда предполагает какие-то крайности и «экстремальные» поступки. Она выражается во всех наших делах, включая повседневные.

Человечность связана с пониманием. Верное отношение к тем или иным людям, явлениям, предметам возможно только тогда, когда мы понимаем подоплёку действий этих людей, особенности явлений. К примеру, возможно ли человечное отношение к преступникам, ведь они совершают зло? Но если рассмотреть каждого преступника по отдельности, то можно столкнуться с любопытными подробностями: этого, например, на воровство толкнула крайняя нужда; другой убил человека, защищая невинного ребёнка… Человечность предполагает знание человеческих слабостей, страхов.

Кроме того, человечность предполагает и адекватную оценку своего положения в мире. Адекватное отношение к другим людям возможно только тогда, когда мы знаем, что не обладаем каким-то существенным превосходством перед ними. Гуманное отношение к животным возможно тогда, когда мы осознаём, что тоже являемся частью животного мира, разве что мы чуть более развиты, чем остальные животные.

Дроби на английском языке

Простые дроби – common fractions

Если у вас с математикой так же “прекрасно”, как у меня, напомню самое основное о дробях.

Простые дроби (common fractions) состоят из числителя (numerator) и знаменателя (denominator). Напоминаю, числитель сверху, знаменатель снизу Если число состоит из целого и дроби, например 1½, – это называется смешанная дробь или смешанное число (mixed numeral).

Числитель выражается количественным числительным, а знаменатель порядковым. Наиболее употребительные в речи дроби 1/2, 1/3, 1/4 в русском языке имеют не только “умные” называния “одна вторая”, “одна третья”, одна четвертая, но и простые: половина, треть, четверть. В английском точно так же.

• 1/2 – a half, one half.
• 1/3 – a third, one third.
• 1/4 – a quarter, one fourth.
• 1/5 – one fifth.
• 1/6 – one sixth.
• 2/3 – two thirds.
• 3/4 – three fourths.
• 1/8 – one eighth.
• 1/10 – a tenth.
• 1/100 – a hundredth.
• 1¼ – one and a quarter.
• 1½ – one and a half.
• 1¾ – one and three quarters.

Обратите внимание, когда числитель больше одного, к окончанию добавляется -s, так как знаменатель используется во множественном числе (как и в русском: две третьих, три четвертых). Существительное, которое определяется дробью, используется с предлогом of:

Существительное, которое определяется дробью, используется с предлогом of:

• 3/4 mile – Three fourths of a mile.
• 1/4 bottle – A quarter of a bottle.

Существительное, определяемое смешанной дробью, используется без предлога, но во множественном числе:

• 2 ½ miles – Two and a half miles.
• 1¼ bottles – One and a quarter bottles.

Десятичные дроби – decimal fractions, decimals

В английском в десятичных дробях (decimals) целое от дроби отделяется точкой (point), а не запятой, как у нас.

Ноль перед точкой называется zero или (британский вариант) nought. Ноль после точки может называться oh (как буква “o”), zero, nought. Лично я для простоты всегда говорю zero, потому что это слово проще выговорить и расслышать. Если целое число в дроби равно нулю, его часто опускают в речи, начиная говорить сразу с “point”.

Целое число читается как обычное количественное числительное, например 45.1 – forty five point one. Но в дробной части каждая цифра читается отдельно тоже как количественное: 2.45 – two point four five (а не two point forty five).

Примеры:

• 0.1 – Point one, zero point one.
• 0.35 – Point three five, zero point three five.
• 1.25 – One point two five.
• 35.158 – Thirty five point one five eight.
• 15.05 – Fifteen point zero five.

Значение паронимов в речи

Существование паронимов в языке нередко порождает массу речевых и фактических ошибок. Трудность здесь в том, что паронимы — это близкие по звучанию и произношению слова

Поэтому, чаще всего человек просто не обращает внимание на смысл, когда пишет большой текст и у него мало времени. Возникает такое негативное явление как смешение паронимов.Классический пример: Заглавный герой романа «12 стульев» никогда не терял чувства юмора

Здесь допущена грубейшая смысловая ошибка. Из слов говорящего получается, что герой романа — это пресловутые двенадцать стульев, но ведь это не так.Смешение различных паронимов — типичная ошибка школьников, особенно при написании сочинений. Иногда подобное смешение может происходить еще и из-за незнания слов. К примеру, заимствованные слова авторитетный и авторитарный. В первом случае речь идет об уважении, почете. А во втором, скорее, тип воздействия, в том числе и политического, при котором мнение одного человека — закон.Но в остальном, как уже было сказано, паронимы играют важную роль при создании образности художественных текстов. Посредством них писатель может подчеркнуть что-то особое значимое для него. Кроме того, с помощью паронимов автор стремится создать комичную ситуацию, каламбур и для этого нарочно смешивает паронимы в одном предложении: «Классиков нужно не только читать, но и почитывать». Иногда паронимы создает и сам автор, дополняя уже известные читателю слова различными производными от них канцеляризмами.

Это интересно:

Как читать математические выражения

Простейшие математические выражения, состоящие из одного математического действия, называются по названию результата этого действия:

• \(2+3\) – сумма чисел 2 и 3
• \(5\cdot 4\) – произведение чисел 5 и 4
• \(24\div 6\) – частное чисел 24 и 6
• \(35-5\) – разность чисел 35 и 5

Более сложные выражения, называют по последнему выполняемому действию:

• \((a+b)-c\) – разность суммы чисел a и b и числа c
• \((a+b)\cdot (a-b)\) – произведение суммы чисел a и b и разности чисел a и b
• \(a\div (c\cdot d)\) – частное числа a и произведения чисел c и d

Важно не только уметь читать готовые математические выражения, но и «переводить» слова на математический язык – язык чисел, знаков действия и других символов:

• Сумма первых пяти натуральных чисел – \(1+2+3+4+5\)
• Произведение всех однозначных чисел – \(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\)
• Сумма всех двузначных чётных чисел – \(10+12+14+…+94+96+98\)

Алгоритм чтения математических выражений

Чтобы прочитать математическое выражение, нужно:

1. Определить порядок действий в выражении
2. Прочитать, начиная с последнего действия

При чтении сложного выражения повторяем действия алгоритма столько раз, сколько необходимо.

Например:

• \(35\cdot (28-12)\) – Произведение числа 35 и разности чисел 28 и 12
• \(35\cdot (28-12)+64\) – Сумма произведения числа 35 с разностью чисел 28 и 12, и числа 64.
• \(35\cdot (28-12)+64–32\div 16\) – Разность суммы произведения числа 35 и разности чисел 28 и 12 с числом 64, и частного чисел 32 и 16

Что такое человечность: краткое определение

Человечность – это такое качество личности, которое отражает морально-нравственные принципы, а именно – любовь и уважение к другим людям, не причиняя им зла, предлагая сотрудничество и взаимопомощь.

Явление человечности распространяется не только на других людей, но и на животных, растения и весь окружающий мир в целом. Так, мы часто слышим призывы быть человечными по отношению к диким и домашним животным – не мучить их, не убивать, не разорять птичьи гнёзда.

Человечность – это одно из наиболее высших проявлений человеческого поведения. Такое поведение – осознанное и приобретённое. Человек не рождается человечным, а становится им в процессе воспитания и накопления жизненного опыта. Ну, или не становится, если воспитание и жизненный опыт не подталкивали к этому.

Задания для домашней работы

Задания для домашних работ для 3 класса (3 четверть)

1. Реши примеры.

а) 5 * 6 + 64 : 8 =	б) 18 : 9 + 37 * 2=	в) 31 * 3 – 56 : 8 =	г) 70 – 51 : 3 * 4 =
д) 9 * 4 – 28 : 7 =	е) 7 * 16 – 80 : 8 =	ж) 11 * 5 – 49 : 7 =	з) 68 – 19 + 30 : 2 =

2. Реши задачу.

В ящик помещается 12 пачек печенья. Сколько всего пачек печенья помещается в 5 ящиков?

3. Реши задачу.

В книжный магазин привезли 88 учебников, которые упакованы в коробки. Сколько коробок с книгами привезли, если в каждой коробке находится 11 учебников?

4. Реши примеры.

а) 17 * 0=	б) 12 : 1=
в) 24 * 1 =	г) 21 : 1 =
д) 0 * 32 =	е) 0 : 15 =

5. Реши задачу.

В пекарне из 15 кг муки испекли 45 тортов. Сколько килограмм муки необходимо, чтобы испечь 60 тортов?

6. Реши задачу.

На складе находилось 45 кг сахара. Дополнительно привезли 4 мешка по 8 кг сахара в каждом, а затем со склада увезли 10 кг сахара. Сколько килограмм сахара осталось на складе?

7. Реши примеры и проверь операцию деления умножением.

а) 48 : 6 =	б) 12 : 4=
в) 24 : 8 =	г) 21 : 7 =
д) 15 : 3 =	е) 0 : 15 =

8. Реши уравнения.

а) X * 18 = 72

б) 90 : Y = 30

в) 21 : X = 3

г) Y * 6 = 42

9. Реши ЗАДАНИЯ по геометрии.

a) Начерти c помощью линейки 3 отрезка. Длина первого отрезка равна 5 см, второй отрезок на 3 см длиннее первого, а третий отрезок в 2 раза короче второго.
б) Найди и выпиши все прямые, тупые и острые углы у фигур, изображённых на рисунке.

а) 17 * 3 =	б) 52 : 4 =
в) 19 * 4 =	г) 48 : 2 =
д) 12 * 5 =	е) 69 : 3 =
ж) 22 * 3 =	з) 17 * 4 =
к) 13 * 5 =	л) 75 : 5 =
м) 96 : 4 =	н) 69 : 3 =

11. Реши задачу.

Школьная бригада собрала в саду 36 кг яблок и 20 кг груш. Весь урожай разложили в ящики по 4 кг. Сколько ящиков понадобилось?

Задания для домашней работы для 3 класса (4 четверть)

1. Реши примеры.

а) 210 * 4 =	б) 840 : 4 =
в) 6 * 120 =	г) 660 : 3 =
д) 220 * 4 =	е) 490 : 7 =
ж) 190 * 3 =	з) 360 : 6 =
к) 3 * 280 =	л) 140 : 2 =
м) 110 * 7 =	н) 640 : 4 =

2. Реши примеры.

а) 970 – 50 =	б) 320 + 50 =
в) 520 – 10 =	г) 630 + 90 =
д) 320 – 30 =	е) 230 + 90 =
ж) 220 – 20 =	з) 590 + 50 =

3. Реши задачу.

Для ремонта школы привезли 160 мешков цемента и 440 мешков песка. Сколько мешков строительного материала потребовалось для ремонта, если после ремонта осталось 250 мешков?

4. Реши задачу.

Фермер вырастил 230 ц картофеля и 140 ц капусты. 360 ц овощей отправили в школьную столовую. Сколько центнеров овощей осталось у фермера?

5. Реши уравнения.

а) 7 * х = 490
б) у : 9 = 70
в) a – 560 = 120
г) b + 380 = 960

6. Реши задачу.

На автостоянке стояло 84 легковых и несколько грузовых машин, которых было на 63 машины меньше, чем легковых. Во сколько раз грузовых машин меньше, чем легковых стояло на автостоянке?

7. Реши примеры столбиком.

а) 984 – 159 =	б) 523 + 369 =
в) 523 – 459 =	г) 374 + 579 =
д) 319 – 198 =	е) 130 + 379 =

8. Реши примеры.

а) 24 * 8 + 336 : 6 + 88 =
б) 16 * 9 + 342 : 2 – 146 =

9. Реши задачу.

На продуктовом складе находилось 64 мешка с сахаром и несколько мешков с мукой, которых было на 56 штук меньше, чем мешков с сахаром. Во сколько раз мешков с мукой меньше, чем мешков с сахаром находилось на складе?

Примеры видов

Белые медведи и гризли

Часто единственным барьером для размножения является географическое или основанное на физическом местонахождении животных. Если это изменится, животные могут скрещиваться и могут сливаться в один вид. В настоящее время это наблюдается в дикой природе у белых медведей и медведей гризли. По мере изменения климата белые медведи вынуждены двигаться дальше на юг и должны начать использовать различные источники пищи. Изменение климата также позволяет медведям гризли идти дальше на север, встречая на пути белых медведей. Ранее разделенные популяции теперь имеют возможность размножаться, и иногда они успешны. Гибриды были замечены в дикой природе, но еще не известно, будут ли они гибридами успешными.

Существует множество различных ситуаций и примеров репродуктивных барьеров, но если этот барьер удастся устранить, вполне вероятно, что два родственных вида смогут скрещиваться. Несвязанные виды редко имеют возможность размножаться, потому что они стали слишком отличаться друг от друга. Например, летучая мышь и черепаха имеют совершенно разную генетическую структуру. Гены, которые контролируют рост черепахи, не будут функционировать у летучих мышей, и наоборот. На самом деле, они даже не имеют одинакового количества хромосом, что является условием для полового размножения организмов, чтобы быть успешным.

Собаки и волки

Тем не менее, другие животные, такие как собаки и волки, технически все те же виды. Хотя они имеют одинаковое количество хромосом и могут технически размножаться, домашняя собака прошла долгий путь от своего дикого аналога. Собаки не только стали более приятными и мягкими, но и настроены на социальные сигналы человека. Волки действуют в совершенно другой социальной структуре. Таким образом, эти два вряд ли будут размножаться в реальном мире. Однако, поскольку они могут создавать плодовитое потомство, ученые считают их одним и тем же видом.

Собаки и волки являются хорошим примером радиации видов или постепенного изменения Население это широко распространено. Подумайте о чихуахуа. Если бы Линней классифицировал это животное, он бы не отнес его к той же категории, что и волк. Тем не менее, чихуахуа может размножаться с немного большей собакой, которая может размножаться с большой собакой, которая может легко размножаться с волком. Таким образом, чихуахуа и волк имеют одну и ту же генетическую основу, выраженную по-разному.

• Гибридный – Организм, созданный скрещиванием двух разных видов.
• Репродуктивные барьеры – препятствия, мешающие двум животным производить плодовитое потомство.
• Биноминальная номенклатура – Система именования отдельных видов двумя латинскими названиями, первое относится к их роду, второе – к их виду.
• Таксономическая иерархия – Система, в которую помещаются все организмы для классификации.

Примеры умножения дробей с переменными

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Тогда можно применять свойство сокращения.

Пример 8

Произвести умножение дробей x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и 3·x213·x+1-2sin2·x-x.

Решение

Необходимо выполнить умножение. Получаем, что

x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)==x-2·x·3·x213·x+1-2×2·ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)

Число 3 переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на x2, тогда получим выражение вида

3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)

Ответ: x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)=3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x).

Сравнение множеств

Не все дети самостоятельно доходят до умения сравнивать числа. Проверьте своего будущего школьника.

Тест

Счётные палочки цветов А и В положите на столе двумя группами по 5 штук. В одной группе палочки должны лежать близко друг к другу, в другой – на небольшом расстоянии.  Спросите у ребёнка, каких палочек больше. Если он покажет группу палочек, лежащих на расстоянии, знайте – сравнивать множества он не умеет. Это для будущего школьника плохо. Если скажет правильно, попросите рассказать, а как догадался. Я обычно говорю детям: докажи.

Учимся сравнивать

Можно показать приём выкладывания парами.

Те же палочки двух цветов, пуговицы и прочее выкладываем друг под другом. Тогда ребёнок чётко видит соответствие: чего больше (меньше) и на сколько. Легко сообразить, как сделать поровну. 

Предметы надо выкладывать четко друг под другом. Позже от выкладывания переходим к рисованию. Если не получилось нарисовать чёткими парами, пары надо создать, соединяя линиями нарисованные предметы

Геометрия в пространстве (стереометрия)

Главная диагональ куба:

Объем куба:

Объём прямоугольного параллелепипеда:

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

Объём призмы:

Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

Объём кругового цилиндра:

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Объём пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

Объем кругового конуса:

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

Длина образующей прямого кругового конуса:

Объём шара:

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

Определение видов

Вид – это группа организмов, которые имеют генетическое наследие, способны скрещиваться и создавать потомство, которое также является плодовитым. Разные виды отделены друг от друга репродуктивными барьерами. Эти барьеры могут быть географическими, такими как горный массив, разделяющий две популяции, или генетические барьеры, которые не позволяют воспроизводство между двумя популяциями. Ученые несколько раз меняли определение вида на протяжении всей истории.

Вид является одной из наиболее специфических классификаций, которые ученые используют для описания животных. Ученые используют систему биноминальная номенклатура описывать животных без смешения общих имен. Эта система использует род как имя, которое всегда пишется с заглавной буквы, а название вида – второе имя, всегда строчные. Таким образом, некоторые животные, такие как рыжая лиса, Vulpes vulpes, оба принадлежат к роду Vulpes, а их вид называется Vulpes

Обратите внимание на разницу в капитализации, чтобы различать род и вид. Другие лисы, такие как быстрая лиса, Vulpes velox, также являются частью рода Vulpes, но существуют барьеры, препятствующие их скрещиванию с красными лисами

Таким образом, они остаются различными видами.

Например, когда Линней впервые классифицировал слона в начале 1700-х годов, он видел только один экземпляр. Образцом был азиатский слон плода, самый маленький из известных сегодня слонов. Не зная лучше, Линней назвал вид Elephas maximus. Современные ученые дня были вынуждены реклассифицировать слона несколько раз. Первое различие между азиатскими и африканскими слонами, которые сильно различаются по размеру. Затем ученым пришлось различать слонов, населяющих пастбища, и слонов, живущих в лесах Африки. генетика показать, что популяции не скрещиваются и разделены репродуктивным барьером.

В следующем столетии Чарльз Дарвин и Альфред Уоллес раздельно задумывали механизм, который создает множество видов из одного вида. Этот процесс естественный отбор применяется невзгоды различных форм, которые организмы должны преодолеть, чтобы размножаться. Организмы, которые лучше приспособлены к окружающей среде, способны воспроизводить больше, и их потомство также может увеличиваться в количестве. Таким образом, разные линии одного и того же вида могут быть лучше или хуже, в зависимости от их генетики. В конце концов, две успешные линии могут расходиться, создавая репродуктивный барьер между двумя популяциями. Эти популяции, согласно Дарвину и Уоллесу, сейчас считаются отдельными видами.

С начала времен этот процесс происходил и разделял организмы по разным успешным линиям. Эта теория была подтверждена большим количеством доказательств. Ископаемые данные дают понять, что животные постоянно менялись с течением времени в ответ на изменчивую среду. Там, где Линней рассматривал животных как статичные, неизменные объекты, в настоящее время широко распространено мнение, что виды существуют в спектре, причем некоторые из них ближе связаны с определенными видами, чем другие. Из-за этого животные часто могут гибридизоваться или спариваться между видами.

Понятие уравнения

Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (*)
• деление (:)

Операции отношения:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
• 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30.

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби.

Возведение степень — операция умножения числа на самого себя несколько раз.

Основание степени — число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз.

Показатель степени — число, которое указывает, сколько раз берется одинаковый множитель.

Степенью называется число, которое получается в результате взаимодействия основания и показателя степени.

• Запись: 34 = 81, где 3 — основание степени, 4 — показатель степени, 81 — степень.
• 3^4 = 3 * 3 * 3 * 3

Вторая степень называется квадратом, третья степень — кубом. Первой степенью числа называют само это число.

Извлечение корня — арифметическое действие, обратное возведению в степень.

• Запись: 4√81 = 3, где 81 — подкоренное число, 4 — показатель корня, 3 — корень.
• З^4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).
• 2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

Порядок вычисления простых выражений

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7−3+6.

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7−3+6=4+6=10

Ответ: 7−3+6=10.

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 62·83?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17−5·63−2+42.

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30, потом 30 разделить на 3 и получить 10. После этого делим 4 на 2, это 2. Подставим найденные значения в исходное выражение:

17−5·63−2+42=17−10−2+2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17−10−2+2=7−2+2=5+2=7

Ответ: 17−5·63−2+42=7.

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

.

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.